En esta historia de la ciencia, tan irreverente como ambiciosa, Steven Weinberg nos conduce a través de los siglos, desde la antigua Mileto hasta el Bagdad medieval, desde la Academia de Platón y el Museo de Alejandría hasta la escuela de la Catedral de Chartres y la Royal Society de Londres. El autor nos traslada a la mente de los científicos de la Antigüedad y la Edad Media para mostrarnos que ellos no sólo no entendían lo que nosotros ya entendemos del mundo, sino que ni siquiera sabían qué era lo que había que entender ni, por supuesto, cómo entenderlo.
Sin embargo, a raíz de la lucha por resolver misterios tales como el curioso movimiento retrógrado de los planetas y la subida y la bajada de las mareas, finalmente emergió la disciplina de la ciencia moderna, con sus objetivos y sus métodos. Weinberg examina los enfrentamientos y las colaboraciones, a lo largo de ese tortuoso pero fascinante camino, entre la ciencia histórica y la religión, la tecnología, las matemáticas, la filosofía y la poesía.
A continuación un fragmento, a modo de adelanto:
2. Música y matemáticas
Aun cuando Tales y sus sucesores hubieran comprendido que a partir de sus teorías sobre la materia necesitaban extraer consecuencias que pudieran compararse con la observación, la tarea les hubiera resultado prohibitivamente difícil, en parte debido a las limitaciones de las matemáticas de los griegos. Los babilonios habían alcanzado una gran competencia en aritmética, utilizando un sistema numérico basado en 60 en lugar de 10. También habían desarrollado algunas técnicas sencillas de álgebra, como las reglas (aunque estas no estuvieran expresadas en símbolos) para resolver diversas ecuaciones de segundo grado. Pero para los griegos de la Antigüedad, las matemáticas eran sobre todo geometría. Como hemos visto, los matemáticos de la época de Platón ya habían descubierto teoremas acerca de los triángulos y los poliedros. Gran parte de la geometría que encontramos en los Elementos de Euclides ya se conocía perfectamente antes de la época de este, en torno al 300 a. C. Pero incluso por entonces los griegos solo poseían una comprensión limitada de la aritmética, por no hablar del álgebra, la trigonometría o el cálculo.
Es posible que el fenómeno que primero se estudiara mediante métodos aritméticos fuera la música, un estudio que fue obra de los seguidores de Pitágoras. Nativo de la isla jónica de Samos, Pitágoras emigró al sur de Italia en torno al 530 a. C. Allí, en la ciudad griega de Crotona, fundó una secta que perduró hasta el siglo IV a. C.
La palabra «secta» parece apropiada. Los primeros pitagóricos no dejaron textos escritos, pero según lo que nos relatan otros escritores, los pitagóricos creían en la transmigración de las almas. Al parecer llevaban túnicas blancas y tenían prohibido comer habas, porque esa legumbre se parecía al feto humano. Organizaron una especie de teocracia, y bajo su mandato el pueblo de Crotona destruyó la vecina ciudad de Síbari en el 510 a. C.
Lo que resulta relevante para la historia de la ciencia es que los pitagóricos también desarrollaron una gran pasión por las matemáticas. Según la Metafísica de Aristóteles, «los llamados pitagóricos se dedicaron por de pronto a las matemáticas, e hicieron progresar esta ciencia. Embebidos en este estudio, creyeron que los principios de las matemáticas eran los principios de todos los seres».
El énfasis que ponían en las matemáticas puede que surgiera de la observación de la música. Vieron que al tocar un instrumento de cuerda, si dos cuerdas de igual grosor, composición y tensión se pulsaban al mismo tiempo, el sonido era agradable si la razón entre la longitud de las cuerdas era un número entero pequeño. En el caso más simple, una cuerda es la mitad que la otra. En nuestra época, decimos que los sonidos de esas dos cuerdas están separados una octava, y catalogamos los sonidos que producen con la misma letra del alfabeto. Si una cuerda es dos tercios la longitud de la otra, las dos notas se dice que forman una «quinta», un acorde especialmente agradable. Si una cuerda es tres cuartas partes de longitud de la otra, entonces produce un acorde agradable llamado «cuarta». Por el contrario, si la razón entre dos cuerdas no corresponde a ningún número entero pequeño (por ejemplo, si la longitud de una cuerda es, pongamos, 100.000/314.159 la longitud de la otra), o la proporción ni siquiera es un número entero, entonces el sonido resulta discordante y desagradable. Ahora sabemos que ello obedece a dos razones que tienen que ver con la periodicidad del sonido producido por las dos cuerdas al sonar a la vez, y con la concordancia de los armónicos producidos por cada cuerda (véase nota técnica 3). Los pitagóricos no sabían nada de todo esto, y de hecho no lo sabía nadie hasta que, en el siglo XVII, no se divulgó la obra del sacerdote francés Marin Mersenne. Por el contrario, los pitagóricos, según nos dice Aristóteles, consideraban que «el cielo en su conjunto es una armonía y un número». Esta idea pervivió durante mucho tiempo. Por ejemplo, Cicerón, en La República, nos cuenta una historia en la que el fantasma de Escipión el Africano, el gran general romano, introduce a su hijo en la música de las esferas.
Los pitagóricos hicieron sus mayores progresos en la matemática pura más que en la física. Todo el mundo ha oído hablar de el teorema de Pitágoras, según el cual, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores, que conforman el ángulo recto). Nadie sabe si alguno de los pitagóricos demostró este teorema, ni cómo. Es posible ofrecer una demostración sencilla basándose en la teoría de las proporciones, una teoría debida al pitagórico Arquitas de Tarento, contemporáneo de Platón (véase la nota técnica 4; la prueba que aparece como Proposición 46 en el Libro I de los Elementos de Euclides es más complicada). Arquitas también resolvió un famoso problema: dado un cubo, construir otro cubo cuyo volumen sea exactamente el doble mediante métodos puramente geométricos.
El teorema de Pitágoras condujo directamente a otro gran descubrimiento: que en las construcciones geométricas pueden aparecer longitudes que no se pueden expresar como razones de números enteros. Si los dos catetos de un triángulo rectángulo poseen una longitud (en alguna unidad de medida) igual a 1, entonces el área total de los dos cuadrados con esas aristas es 12 + 12 = 2, pues, según el teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa ha de ser un número cuyo cuadrado sea 2. Pero es fácil demostrar que un número cuyo cuadrado es 2 no se puede expresar en una razón de números enteros (véase nota técnica 5). La prueba nos la ofrece el Libro X de los Elementos de Euclides, y la menciona anteriormente Aristóteles en su obra Primeros analíticos como un ejemplo de reductio ad impossibile, pero sin darnos la fuente original. Existe la leyenda de que este descubrimiento se debe al pitagórico Hipaso, posiblemente nacido en Metaponto, en el sur de Italia, y que fue exiliado o asesinado por los pitagóricos por revelar su descubrimiento.
Hoy en día podríamos describirlo como el descubrimiento de que los números como la raíz cuadrada de 2 son irracionales: no se pueden expresar como razones de números enteros. Según Platón5, Teodoro de Cirene demostró que la raíz cuadrada de 3, 5, 6…, 15, 17, etcétera (es decir, aunque Platón no lo afirme, las raíces cuadradas de todos los números distintos a 1, 4, 9, 16, etcétera, que son los cuadrados de números enteros) son irracionales en el mismo sentido. Pero los griegos de la Antigüedad no lo habrían expresado así. Más bien, tal como aparece en la traducción de Platón, los lados de los cuadrados cuyas áreas son 2, 3, 5, etcétera pies cuadrados «no guardan proporción» con el pie entero. Los antiguos griegos solo concebían los números racionales, por lo que, para ellos, a la raíz cuadrada de 2 solo se le podía dar un significado geométrico, y esta limitación impidió que la aritmética siguiera desarrollándose.
Esta tradición de interesarse por la matemática pura prosiguió con la Academia de Platón. Al parecer había un cartel a la entrada que rezaba que no debía entrar nadie que no supiera nada de geometría. El propio Platón no era matemático, pero le entusiasmaban las matemáticas, quizá en parte porque, durante su viaje a Sicilia para hacer de preceptor de Dionisio el Joven de Siracusa, conoció al pitagórico Arquitas.
Uno de los matemáticos de la Academia que también tuvo una gran influencia sobre Platón fue Teeteto de Atenas, discípulo de Arquitas y personaje que da título a uno de los diálogos de Platón. Se atribuye a Teeteto el descubrimiento de los cinco sólidos regulares que, como hemos visto, proporcionaron una base a la teoría de los elementos de Platón. La prueba* que aparece en los Elementos de Euclides, según la cual estos son los únicos sólidos regulares convexos posibles, podría deberse a Teeteto, que también realizó su aportación a la teoría de lo que denominamos números irracionales. El matemático helénico más importante del siglo #= a. C. fue Eudoxo de Cnido, otro discípulo de Arquitas y contemporáneo de Platón. Aunque durante gran parte de su vida residió en la ciudad de Cnido, en la costa de Asia Menor, Eudoxo estudió en la Academia de Platón, a la que posteriormente regresó para dar clases. No nos ha llegado ningún texto de Eudoxo, pero se le atribuye la solución de un gran número de difíciles problemas matemáticos, como por ejemplo la demostración de que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro de la misma base y altura. (No tengo ni idea de cómo Eudoxo pudo hacerlo sin utilizar el cálculo matemático). Pero su mayor contribución a las matemáticas fue la introducción de un estilo riguroso en el que los teoremas se deducen de axiomas claramente expuestos. Es el estilo que posteriormente encontramos en los escritos de Euclides. De hecho, muchos detalles que aparecen en los Elementos de Euclides se han atribuido a Eudoxo.
Aunque el desarrollo de las matemáticas por parte de Eudoxo y los pitagóricos fue un gran logro intelectual en sí mismo, para las ciencias naturales fue un regalo envenenado. Para empezar, el estilo deductivo de la escritura matemática, consagrado por los Elementos de Euclides, fue imitado hasta la saciedad por aquellos que se dedicaban a las ciencias naturales, donde no resulta tan adecuado. Como veremos, en los escritos de Aristóteles sobre las ciencias naturales hay muy pocas matemáticas, aunque a veces suenan como una parodia del razonamiento matemático, como ocurre en su discusión del movimiento en la Física: «Así, el cuerpo A se desplazará a través del medio B en el tiempo C, y a través del medio D (que es menos denso) en el tiempo E; si las longitudes de B y D son iguales, los tiempos C y E serán proporcionales a la resistencia del medio. Sean entonces B agua y D aire»6. Quizá la obra capital de la física griega sea De los cuerpos flotantes, de Arquímedes, que comentaremos en el capítulo 4. Se trata de un libro escrito como un texto matemático, con postulados incuestionables seguidos de proposiciones deducidas de ellos. Arquímedes fue lo suficientemente inteligente como para elegir los postulados correctos, pero resulta más honesto presentar la investigación científica como una maraña de deducciones, inducciones y conjeturas.
Más importante que la cuestión del estilo, aunque relacionada con él, es la falsa meta inspirada por las matemáticas: alcanzar una verdad definitiva mediante el solo uso del intelecto. En su discusión de la educación de los reyes filósofos en La República, Platón hace argumentar a Sócrates que la astronomía debería practicarse del mismo modo que la geometría. Según Sócrates, observar el cielo podría resultar un acicate para el intelecto, de la misma manera que mirar un diagrama geométrico podría ayudar en las matemáticas, pero en ambos casos el conocimiento real procede tan solo del pensamiento. Sócrates explica en La República que «para la práctica de la astronomía acudiremos a los problemas, lo mismo que cuando empleamos la geometría. Dejaremos a un lado las cosas del cielo, si realmente queremos, ahondando en el estudio de la astronomía, obtener algún provecho de la parte inteligente que por naturaleza hay en el alma».
Las matemáticas son el medio mediante el cual deducimos las consecuencias de los principios físicos. Más que eso: son el lenguaje indispensable en el que se expresan los principios de la física. A menudo inspiran nuevas ideas acerca de las ciencias naturales y, a su vez, las necesidades de la ciencia a menudo impulsan el desarrollo de las matemáticas. La obra del físico teórico Edward Witten ha arrojado tanta luz sobre las matemáticas que en 1990 se le concedió uno de los más altos galardones en esa materia, la Medalla Fields. Pero las matemáticas no son una ciencia natural, pues en sí mismas, sin observación, no nos dicen nada del mundo. Y los teoremas matemáticos no se pueden verificar ni refutar mediante la observación de las cosas.
Eso no estaba del todo claro en la Antigüedad, y ni siquiera tampoco al principio de la era moderna. Hemos visto que Platón y los pitagóricos consideraban los objetos matemáticos, tales como los numerosos triángulos, componentes fundamentales de la naturaleza, y veremos que algunos filósofos consideraron la astronomía matemática como una rama de las matemáticas, y no de las ciencias naturales.
La distinción entre ciencia y matemáticas está ya bastante clara. Nos sigue resultando un misterio por qué las matemáticas, que se inventaron por razones que nada tienen que ver con la naturaleza, a menudo resultan ser útiles en las teorías físicas. En un famoso artículo8, el físico Eugene Wigner se ha referido a «la irrazonable efectividad de las matemáticas». Pero por lo general no nos cuesta distinguir las ideas de las matemáticas de los principios de la ciencia, principios que en última instancia quedan justificados mediante la observación del mundo.
Los conflictos entre los matemáticos y los científicos surgen generalmente por la cuestión del rigor matemático. Desde principios del siglo XIX, los investigadores de las matemáticas puras han considerado el rigor como algo esencial; las definiciones y los postulados han de ser claros, y las deducciones han de seguirse con absoluta certeza. Los físicos son más oportunistas, y exigen tan solo una precisión y una certidumbre suficientes que les proporcionen una elevada probabilidad de evitar errores graves. En el prefacio a mi propio tratado sobre la teoría cuántica de campos, admito que «hay partes de este libro que harán llorar al lector con inclinaciones matemáticas ».
Lo cual lleva a problemas de comunicación. Algunos matemáticos han dicho que los libros de física a menudo les parecen irritantemente imprecisos. Los físicos, como es mi caso, que necesitan herramientas matemáticas avanzadas, a menudo consideran que la búsqueda del rigor de los matemáticos complica sus textos de una manera que tiene poco interés para la física.
Se ha llevado a cabo un doble esfuerzo por parte de los físicos con más aptitudes para las matemáticas para formalizar la física de las modernas partículas elementales —la teoría cuántica de campos— sobre una base matemáticamente rigurosa, y se han llevado a cabo algunos progresos interesantes. Pero en el último medio siglo, el desarrollo del Modelo Estándar de ninguna manera se ha basado en alcanzar un mayor nivel de rigor matemático. Las matemáticas de los antiguos griegos siguieron prosperando después de Euclides. En el capítulo 4 llegaremos a los grandes descubrimientos de matemáticos helenísticos posteriores, como Arquímedes y Apolonio.
