Adrián Paenza, el padre de la matemática recreativa, propone convertirnos en detectives y dilucidar los dilemas de este policial de la matemática. Cada historia te llevará a lugares misteriosos, por ejemplo, a un bar antisocial con una barra para 25 personas en la que el barman tendrá que decidir dónde sentar al primer cliente para que entre la mayor cantidad de gente, pero siempre dejando un asiento de por medio. Presenciarás un torneo de ping-pong entre tres amigos durante toda una tarde: el primero jugó 10 partidos; el segundo, 15; y el tercero, 17. El desafío será deducir quién ganó el segundo partido. Y el recorrido te conducirá también a una disputa millonaria entre dos empresas, que se definirá, nada más y nada menos, que jugando al «piedra, papel o tijera».
La matemática tiene intriga y misterio. Se trata de pensar, juntar los datos, combinarlos, advertir la multiplicidad de obstáculos, y descubrir así algunos de los secretos que, todavía, esconde esta ciencia maravillosa.
A continuación, un fragmento a modo de adelanto:
Más sobre Piedra, Papel o Tijera
Piedra, Papel o Tijera… otra vez. No sé si a usted le producirá el mismo asombro que a mí, pero cada tanto me cruzo con algún artículo que involucra alguna decisión que se tomó usando ‘Piedra, papel o tijera’ me genera infinita curiosidad y no puedo dejar de averiguar qué fue lo que sucedió.
Lo que quiero comentar acá pasó hace más de diez años. Corría 2005. Una compañía japonesa (Maspro Denkoh Corporation3) que fabricaba (todavía lo hace) equipos para televisión (cámaras, micrófonos, antenas, consolas, cables, etc.) contaba entre sus activos con algo totalmente inusual (para mí, claro está): una colección importante (importantísima, debería decir) de cuadros de algunos de los más relevantes impresionistas franceses (y también otros de igual nivel).
No entendí bien por qué tenía esta colección pero, a los efectos de lo que me interesa comentar, las razones son totalmente irrelevantes. Supongo que así como hay empresas que tienen su capital invertido en inmuebles, a Maspro Denkoh le interesaban los cuadros.
Para mostrar la magnitud de la colección, piense que entre las pinturas había un original de Paul Cézanne (nada menos), otro de Van Gogh, uno de Picasso y otro de Sisley. El presidente de la compañía, Takashi Hashiyama, declaró que la colección estaba valuada inicialmente entre 15 y 20 millones de dólares. Hashiyama ya había cumplido 74 años y quería tener liquidez para poder dedicarse a otro de sus hobbies: cerámicas japonesas.
Tratar de vender colecciones de este tipo requiere de la intervención de galerías de arte, subastadores, intermediarios de diferente tipo. No crea que yo sé mucho más al respecto, pero lo que me queda claro después de haber leído una porción insignificante de la literatura accesible para ‘gente como yo’ (y quizá ‘como usted’ también) es que en todo el mundo no hay muchas confiables, que atraigan compradores con este poder adquisitivo y que puedan garantizar la autenticidad de las obras.
Lo que también aprendí es que hay dos en particular que tienen una tradición que las posicionan en un lugar muy privilegiado en el mundo. Una se llama Christie’s International, fue fundada en 1766 y tiene su base en Londres, Inglaterra. La otra, Sotheby’s Holdings, también tiene sus cuarteles generales en Londres pero fue fundada 22 años antes: en 1744. Escribo las antigüedades para mostrar qué garantías se buscan en operaciones de este tipo, y además para resaltar que los ingleses han estado a la vanguardia en este rubro desde hace siglos (así como en las casas matrices de las compañías de seguros más importantes del mundo).
De todas formas voy a escribir sobre estas dos en particular porque son las que tuvieron injerencia en el caso que quiero comentar. De hecho, Hashiyama, el presidente de la compañía japonesa, sabía que necesitaría alguna empresa de estas características para garantizar la operación y, por supuesto, este tipo de colección lo ameritaba.
Supongo que a esta altura usted estará preguntándose lo que me pregunté yo también: ¿cuánto cobran de comisión? ¿Cuánto cuestan los intermediarios? En estos casos, la comisión es de un 20 por ciento por los primeros 200.000 dólares del precio final y a partir de allí, un 12 por ciento.
Hasta acá, todo bien… ¿y? ¿Por qué habría de estar escribiendo todo esta introducción? Es que en algún momento del proceso de venta, hubo que tomar una decisión: ¿a cuál de las dos darle la colección para que se ocupara de buscar los compradores y hacer la subasta? ¿Qué método cree que la compañía de Hashiyama eligió para decidir entre Christie’s y Sotheby’s? Sí, tal como figura en el título… decidieron usar ‘Piedra, Papel o Tijera’. Increíble, ¿no?… pero hay más. No termina acá: siga leyendo y verá.
Los periodistas del New York Times, de la BBC, del Wall Street Journal y del Telegraph (por sólo mencionar algunos) se comunicaron telefónicamente con Hashiyama, quien les dijo que usar ‘Piedra, Papel o Tijera’ es un método muy frecuente en Japón. Más aún: “Algunas veces yo mismo uso este juego cuando no tengo claro qué dirección tomar”.
Hashiyama le comentó a Brooks Barnes, periodista del Wall Street Journal, que de esa forma la subastadora que perdiera el caso, no tendría que explicarle nada a sus jefes; se habría debido pura y exclusivamente al azar. Y así fue.
El último jueves de enero de 2005, fueron citados a una reunión en el centro de Tokio un representante de cada una de las dos compañías subastadoras. El propio Hashiyama les dijo que tenían tiempo hasta el siguiente lunes para elegir ‘Piedra, Papel o Tijera’. La que ganara en el encuentro de ese lunes, se quedaría con todo el dinero de las comisiones.
La presidente de Christie’s en Japón, Kanae Ishibashi, cuando fue entrevistada por los periodistas ese fin de semana, se negó a contar cuál sería su estrategia. El periodista del New York Times Carlos Vogel escribió en su artículo del 29 de abril: “Ishibashi no habló, pero sus colegas en Estados Unidos confesaron que se pasó todo el fin de semana estudiando la psicología del juego, sobre todo de aquellos que lo juegan por internet y terminó consultando con Nicholas Maclean, director del departamento de Impresionismo y Arte Moderno de Christie’s. ¿Por qué cuento esto? Porque Maclean tenía dos hijas mellizas de 11 años, Flora y Alicia. Ellas terminaron siendo, como dice Vogel, las expertas que buscaba Ishibashi. Ambas confesaron que lo jugaban prácticamente todos los días.
Y aquí viene la parte interesante (creo). Una de las mellizas le dijo al padre: “Todo el mundo sabe que uno siempre empieza con tijera. Es que piedra es demasiado obvio y tijera corta el papel”. Supongo que piedra es demasiado obvio porque una roca o una piedra otorga una sensación de mayor poder a quien la usa que una tijera o un pedazo de papel. Entonces, si la mayoría siente que jugando piedra tiene más chances, entonces es posible que el rival, analizando esto, decida jugar papel para envolver a la piedra y ganar el tiro.
Flora no se detuvo en su análisis: “Como en este juego ambos participantes son principiantes yo creo que habría que jugar tijera. Y dejame decirte algo más: en el caso en que hubiera empate yo seguiría apostando por tijera”. Entre paréntesis, este tipo de re$ exiones no parece hecho por una personita de 11 años pero fíjese que esto es lo que está ocurriendo ahora con los niños (si es que no ocurría desde antes) y todos los aportes que hace la ‘Teoría de Juegos’ apuntan en esa dirección.
A todo esto, la otra compañía, Sotheby’s, consultó también con su propio experto en Impresionismo y Arte Moderno, Blake Koh. Blake dijo: “Este juego es puro azar y por lo tanto no hay demasiado que pensar. No elegimos ningún tipo de estrategia en particular”.
Cuando llegó el día lunes, Ishibashi, una de las dos personas que representaría a Christie’s, comentó que ella “rezó, llevó algunos amuletos que suponía que le traerían buena fortuna y esparció sal sobre la mesafi(símbolo o ritual de la ‘buena suerte’ en Japón).
En la reunión había seis personas: dos de cada galería y dos de Maspro, los dueños de la colección. Los sentaron enfrentados en una mesa larga y todos sabían que habría una modificación en las reglas habituales del juego. No habría señales con las manos, ni mímica ni voz para mostrar lo que habían decidido jugar durante el fin de semana. No. Cada subastadora tendría que escribir en un papel que se les había entregado a esos efectos una de las tres palabras: ‘piedra, papel o tijera’… ¡en japonés!
Cuando cada parte completó el formalismo, la ganadora fue Christie’s. El aporte de Flora y Alicia no había sido en vano: ‘la tijera cortó el papel’.
Algo más: el cuadro de Cézanne, “Les grands arbres au Jas de Bouffanfi(“Los grandes árboles de Jas de Bouffan”, 1885-1887, que retrata la famosa mansión en Aix-en-Provence donde Cézanne vivió por más de 40 años), se vendió por más de 16 millones de dólares cuando el precio que estimaba la propia compañía japonesa era de doce.
Pero todo esto termina siendo irrelevante o anecdótico. En algún otro momento quiero comentar más sobre la abundante literatura que hay escrita (y se sigue escribiendo) alrededor de este juego. El 21 de abril del año pasado (2014), tres doctores en física chinos (Zhijian Wang, Bin Xu y Hai-Jun Zhou) publicaron un artículo5 fantástico sobre cómo hacemos los humanos para tomar decisiones miradas desde un punto de vista científico. Pero más allá del aporte de ellos, el estudio evidencia otro problema que tenemos: no sabemos bien qué es el azar.
Por ejemplo, nos cuesta aceptar repeticiones y de hecho creemos que porque salió siete veces seguidas el color ‘negro’ en alguna ruleta de un casino, entonces es más probable que salga ‘colorado’ ahora… porque le tiene que tocar. Pero eso será para otro momento. Por ahora me quedo satisfecho con exhibir un caso (más) en donde haber sabido usar una tijera en el momento adecuado le permitió a una compañía ganar más de cuatro millones de dólares y mostrar la potencia que uno adquiere si es capaz de usar la ‘Teoría de Juegos’.
Subnota
La literatura ubica en el siglo XVIII el origen del juego, según lo que señala Douglas Walker, presidente de la Sociedad Mundial de ‘Piedra, Papel o Tijera’. Increíble que haya una asociación dedicada a este juego, ¿no es así? La sociedad tiene su base en Toronto, Canadá, y son ellos los primeros en publicar un libro de 208 páginas que se llama The Official Rock Paper Scissors Strategy Guide, o sea, la Guía oficial para la estrategia de Piedra, Papel o Tijera. De acuerdo con lo que allí se indica, jugar papel es considerado como más amigable y sutil. Por su parte, tijera es más agresivo y astuto, mientras que piedra es el ‘arma’ más conservadora y se usa como ‘protección’. Créame: yo sólo transcribo lo que leo. No tengo opinión sobre el tema.
Por último, los porcentajes que revela la guía: piedra, el 35,4%; papel, el 35% y tijera, 29,6%. No sé si le interesa apoyarse en los porcentajes para jugar o para tomar decisiones, pero ésos son los valores ‘oficiales’. Usted decide…
Tongo
¡Qué título!, ¿no? Más aún: la palabra ‘tongo’ hasta suena pornográfica. Pero no… no quiero hablar de pornografía. Me explico. Las líneas que siguen están basadas en un artículo que apareció en la edición del 3 de octubre de 2014 en El Periódico de Badalona, uno de los diarios españoles que se vende predominantemente en Cataluña.
El título de la nota es: “Ola de acusaciones de tongo en el examen de la policía de Badalona”. Puesto en esos términos, ya me dieron ganas de leerla. Pero además, quien me advirtió del texto fue mi querido amigo y matemático Carlos D’Andrea, profesor en la Universidad de Barcelona. Carlos me escribió: “Adrián, leé la nota y fijate cómo la matemática les permitió a los acusadores encontrar argumentos para sostener su posición”.
Eso hice y acá estoy. La historia —en resumen— es que habida cuenta de las vacantes que se habían producido en la Guardia Urbana de la ciudad (Badalona) se abrió un concurso de aspirantes para llenarlas. La forma de selección incluía un examen de 90 preguntas. El puntaje máximo era de 20 (veinte) puntos. Se presentaron 670 candidatos pero solamente 486 entregaron la hoja con las respuestas.
De ellos, sólo aprobaron 12 (doce). Como dice el diario, “hasta acá, nada anómalo”. Sigo. Lo notable es que seis de ellos lograron notas significativamente más altas que todo el resto. Aquí quiero detenerme e invitarlo a que mire la Figura 1. Revise los datos y piense lo que le sugieren a usted.
En vista de estos datos, uno de los denunciantes analizó estadísticamente los 486 resultados y para ello usó lo que se conoce con el nombre de la campana de Gauss. ¿Qué quiere decir esto? No me abandone ahora que la idea es muy sencilla. Solamente me voy a referir a este ejemplo particular, el del examen.
Como el puntaje mínimo era cero (obviamente) y el máximo para quien contestara todo bien era 20, se agrupan los exámenes que obtuvieron notas entre 0 y 1, los que sacaron entre 1 y 2, los que lograron entre 2 y 3… y así siguiendo, hasta que el último segmento corresponde a las notas entre 19 y 20. Una vez hecha esa división, se suma el número de exámenes que obtuvieron esos puntajes y se coloca una ‘franja’ (como se ve en la Figura 1) en donde la altura representa esa cifra. Por ejemplo, el número 70, que aparece arriba del segmento que va entre 5 y 6, indica que hubo 70 exámenes con esas notas. Justamente, las alturas van marcando las distintas concentraciones que se produjeron.
Con la misma idea, fíjese que el número 95 corresponde a las personas que obtuvieron entre 6 y 7, y lo interesante es que allí se concentró el número máximo de exámenes.
Si usted mira lo que sucede a los dos costados de esa franja, aparecen los números 70 y 73 que corresponden al número de exámenes que obtuvieron entre 5 y 6, y los que sacaron entre 7 y 8. A medida que uno se va alejando hacia los dos extremos, las alturas disminuyen, lo que indica que son menos las personas a quienes les fue cada vez peor o cada vez mejor.
Si uno tuviera que trazar una curva vería que va tomando la forma de una campana. Este tipo de análisis y de distribución fue detectado por Gauss, de allí que reciba el nombre de ‘campana de Gauss’. A pesar de que yo lo diga ‘como al pasar’, todo el desarrollo que hizo quien es considerado El Príncipe de la Matemática merece otro tipo de atención, pero no es éste ni el lugar ni el momento. De todas formas, créame que vale la pena dedicar algún tiempo para leer sobre la vida de esta persona increíble.
Me apuro a escribir que no todo en la vida tiene una distribución normal o admite una campana de Gauss como descripción del fenómeno, pero si usted quiere pensar en otros ejemplos, imagine las alturas de las personas que viven en una ciudad, o la distribución que se obtendría si uno analizara los kilogramos que pesa cada uno. En el caso de las alturas, supongo que la mayor concentración de personas estará arriba de los que miden entre 160 y 170 centímetros, así como la de los pesos debería estar por encima de los que varían entre 60 y 70 kilos. Siguiendo con estos ejemplos, los que miden menos de 130 centímetros o más de dos metros figurarán a ambos costados ya que serán muchos menos, y los que pesan 30 kilos o 150, también.
Pero quiero volver al ejemplo. Como escribí antes, en el gráfico que apareció en el diario de Badalona sólo se reflejan los datos de 486 personas que fueron quienes entregaron la prueba. Es fácil descubrir la forma de campana que tiene la distribución de las notas. Si uno suma el número de personas que obtuvieron entre 4 y 10 obtiene 397 (ya que 60 + 70 + 95 + 73 + 55 + 44 = 397), lo que representa casi el 82% de los casos evaluados.
Sin embargo, como usted advierte, el mismo gráfico tiene una ‘curiosidad’ añadida: sobre el sector derecho, aparecen seis personas que obtuvieron entre 17 y 19 (nadie sacó el puntaje ideal). Y ésa es una anomalía a la que había que prestarle atención.
Entusiasmados por el descubrimiento, un grupo de los que rindieron el examen buscó los antecedentes de las personas que ‘sobresalieron’. Los periodistas del diario los ayudaron y concluyeron que de los seis, dos son hijos de dos de los actuales escoltas personales del alcalde de la ciudad y otros tres son hijos de agentes de la Guardia Urbana. Hasta este momento no pudieron encontrar ningún parentesco que invitara a la sospecha sobre el sexto aspirante.
Una vez que tuvieron estas herramientas, analizaron el examen desde otro lugar. La persona que obtuvo el puntaje mayor contestó 82 preguntas correctamente, se equivocó en dos y dejó seis en blanco, y el que más se equivocó de los seis también respondió bien 82, se equivocó en siete y no contestó una. Justamente estos seis casos invitaban a sospechar la existencia de algún tipo de anomalía. Eso los llevó a investigar algunas preguntas y cuestionarse cómo podía ser posible que algunos pudieran contestarlas sin despertar la sospecha de ‘tongo’. Uno de los acusadores declaró: “Algunas preguntas eran imposibles de responder”. Por ejemplo, una de ellas pedía contestar cuál es el porcentaje de desocupación juvenil que hay en Europa de acuerdo con lo que publicó la edición digital del diario El País (???). Teniendo en cuenta que el examen fue en septiembre y esa nota había salido en el diario en marzo, la pregunta parece —para ser generosos— muy ‘rara’. Lo curioso es que no se pide el dato de la desocupación, sino el dato publicado por la edición digital de un diario. Otra: “¿Cuál es la forma política de Japón?”. Como dicen los periodistas del diario de Badalona, parece una pregunta extraña para hacerle a alguien que pretende ser agente de la policía municipal de Badalona.
A esta altura —supongo que como a usted—, el problema que hay en Badalona dejó de interesarme, pero sí quería remarcar cómo la matemática vino en socorro de aquellos que sospechaban que había habido ‘tongo’ o ‘fraude’, o que alguien pasó los datos sobre 82 de las 90 preguntas, y que, curiosamente, cinco de los seis afortunados tenían una relación de parentesco con autoridades locales: ¡toda una casualidad!
