¿Cuál es la mejor estrategia para ganar una licitación? ¿Y para tener una pareja estable? ¿Qué podríamos hacer si quisiéramos conseguir un trabajo para el que hay varios candidatos? ¿Y para vender algo en internet tratando de optimizar su ganancia? ¿Qué haría usted para embarcar pasajeros en un avión tardando el menor tiempo posible?
El pensamiento estratégico es un conjunto de pasos y herramientas diseñado para lograr un determinado fin o resolver una dificultad. Y la matemática tiene mucho que decir a la hora de enfrentar imaginativamente los problemas de la vida cotidiana.
En este nuevo libro, Adrián Paenza ofrece una variedad de estrategias que intentan ayudar a pensar mejor, en forma más educada: de las posibles a las inexistentes, de las clásicas a las más novedosas, de las óptimas a las perfectas. Para disfrutar el placer de tener un problema no resuelto en la cabeza y divertirnos trazando caminos que nunca antes habíamos recorrido. Como verdaderos estrategas. ¿Quién no jugó mientras fue niño? ¿Por qué no seguir haciéndolo ahora que somos adultos?
A continuación un fragmento, a modo de adelanto:
¿Qué tendrán que ver un juego con pelotas y la paridad?
En lugar de un problema quiero proponerle un juego. Ubique a ocho personas en un círculo. Las voy a llamar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.
Usted ubíquese en el centro del círculo y consígase una bolsa con muchas pelotas de tenis o de ping-pong… en fin, de lo que quiera, pero la idea es que pueda sostener suficiente cantidad para poder jugar.
Cuando empiece el juego, los participantes pueden pedirle que les dé un número cualquiera de pelotas; pero si usted accede, tendrá que darle la misma cantidad a alguno de los dos participantes que este tiene al lado.
Por ejemplo, si el participante número 4 le pide tres pelotas, usted tiene que darle las tres pelotas al número 4, pero también debe entregarle tres pelotas o bien al 5 o bien al 3.
Y lo mismo al revés: si en algún momento del juego algún participante quiere darle pelotas a usted (que está en el centro), solo lo puede hacer si consigue que alguno de los dos que tiene al lado (a la izquierda y/o a la derecha) le entregue ese número de pelotas a usted también. Por ejemplo, si el participante 1 le quiere entregar cuatro pelotas a usted que está en el centro, tiene que convencer o bien al 8 o bien al 2 para que también se desprendan de cuatro pelotas.
Esas son las únicas reglas. Ahora bien, para empezar el juego, los únicos que tienen una pelota cada uno son el participante 3 y el 7. Los demás no tienen ninguna.
Pregunta: ¿será posible que en algún momento del juego todos los participantes (los ocho) tengan el mismo número de pelotas?
Es decir, ¿es posible diseñar una estrategia, siguiendo las reglas que figuran más arriba, de manera tal que en algún momento del juego todos tengan la misma cantidad de pelotas?
Ahora le toca a usted.
Idea para la solución
Mi primera propuesta sería que usted intente jugando. Aunque no pueda encontrar ocho amigos o familiares que quieran acompañarlo, siéntese un rato con un papel y un lápiz (qué antiguo, ¿no?). En cualquier caso, vea qué sucede si usted trata de forzar que todos tengan el mismo número de pelotas.
Lo que yo escriba ahora servirá para contestar la pregunta, pero creo que no lo ayudará a mejorar su capacidad para pensar salvo que usted intente por su lado. ¿Cómo hace usted para descubrir dónde está la dificultad? ¿Se podrá o no se podrá lograr que todos tengan el mismo número de pelotas?
Y si usted no pudo hasta acá, ¿será porque no podrá nadie o será solamente porque a usted —todavía— no se le ocurrió una forma que lo conduzca a la respuesta?
Dicho de otra manera, ¿uno no encuentra la respuesta por problemas circunstanciales, o el problema tendrá alguna dificultad intrínseca que lo hace ‘insolucionable’?
Antes de avanzar, permítame decir algo más: la única gracia que tiene este tipo de problemas es motivarlo para bucear por algún otro lugar de su cerebro, llevarla/lo —eventualmente— por lugares que usted no exploró. Si únicamente lee lo que escribo yo, solo le servirá para conocerme a mí un poco mejor, nada más. La idea final debería ser otra: mejorar su capacidad para razonar y elaborar estrategias.
Ahora sí, avancemos juntos por acá.
Primera observación: cada vez que uno intente darle una o cualquier número de pelotas a un jugador cualquiera, sabe que está ‘agregando’ ese número de pelotas a uno de los dos que tiene al lado. El problema se va a plantear con los jugadores 3 y 7. Si esos jugadores no tuvieran ninguna pelota, entonces no habría nada que hacer, ya que ya tendrían todos la misma cantidad: cero pelotas.
Pero esa no es la posición inicial. Los jugadores 3 y 7 tienen una pelota cada uno. Yo podría darles pelotas a 1 y a 2, por ejemplo (una pelota a cada uno), y a 4 y a 5, pero ni bien quiera darle una pelota a 6, entonces o bien le agrego una pelota a 7 (y no quiero hacer esto), o bien le agrego una pelota a 5 (y tampoco quiero hacer esto). Y lo mismo ocurriría con 8.
Por supuesto, el hecho de que no haya podido resolverlo de entrada no significa que no vaya a poder. Solo quiero mostrarle alguno de los lugares en donde uno puede tropezar con una dificultad.
También podría encarar el problema de otra forma, entregándoles muchas pelotas a los de alrededor de 3 y de 7, y buscando alguna manera de retirárselas usando a los dos que tienen al lado cada uno de ellos.
Es por eso que le sugería recién que esta parte del problema no puedo hacerla por usted. En realidad, es una de las partes más importantes de cualquier problema: ¡descubrir en dónde está la dificultad!
Eso es algo que nadie puede hacer por usted. Quizás sospeche dónde está el problema, pero nada se compara con detectar uno mismo cuál es la valla que hay que saltar.
Bueno, pero estoy evadiéndome de abordar el problema propiamente dicho.
En un momento determinado habrá que tomar alguna decisión: o bien usted está convencido de que se puede encontrar una estrategia que permita que todos tengan el mismo número de pelotas, o bien habrá que convencerse (después de haber intentado múltiples veces) de que eso no será posible y de que lo que se trata entonces es de demostrar que ‘tal estrategia’ ¡no existe! No importa quién venga, ni lo que haga, no habrá forma de encontrarla.
Yo voy a tratar entonces de convencerlo/la de que ese es el caso: no se puede.
Ahora bien: ¿por qué?
Hay algo que uno empieza a sospechar en la medida que va intentando elaborar esa estrategia en alguno de los casos fallidos, y es que hay ‘algo’ que siempre ‘molesta’… y si bien uno —al principio— no lo puede poner en palabras, pareciera que tiene que ver con ‘la paridad’. ¿Tendrá algo que ver el hecho de que los dos participantes que tienen una pelota sean el número 3 y el número 7? Digo esto porque si en lugar de ser el 3 y el 7 fueran el 3 y el 4 los que empiezan con dos pelotas, entonces no habría dudas de que el problema sí tiene solución. Bastaría —por ejemplo— con darles una pelota a 1, 2, 5, 6, 7 y 8. En ese caso, todos tendrían una pelota, y problema resuelto.
¿Y si en lugar de 3 y 4 les diera una pelota a 3 y a 6? ¿Se podrá ahora? (confío en que usted está intentando en cada caso investigar por su cuenta). Fíjese que sí, que también se puede: bastaría con darles una pelota a 1, 2, 4, 5, 7 y 8, y terminarían todos con una pelota otra vez.
Como última sugerencia antes de escribir la respuesta definitiva, le propongo que se fije que, así como en los casos en los que les doy una pelota a 3 y a 4, o a 3 y a 6, el problema tendría solución, lo mismo pasaría si les diera una pelota a 5 y a 6, o a 2 y a 5, o a 3 y a 8… Estoy seguro de que a esta altura usted ya debe haber encontrado otros pares de números con los que funciona.
Si usted revisa los ejemplos que yo puse en donde sí funciona (más los que quizás encontró usted), podrá descubrir algo muy interesante: pareciera que siempre se puede si los números de los dos jugadores que tienen una pelota de entrada son uno par y el otro impar. Pero, en el caso original, los números de los participantes que empezaron con una pelota son el 3 y el 7, que son dos impares. ¡Aquí sí me parece que estamos muy cerca de entender en dónde está la clave del problema! Y aquí quería llegar: una vez más, el tema central es ¡la paridad!
Ahora bien: ¿qué hacer? ¿Cómo aislar el problema de manera tal de poder explicar que por esa razón no vamos a lograr elaborar la estrategia? ¿Cómo hacemos ahora para traducir esto que parece que descubrimos en una demostración convincente de que si los números de los dos participantes que tienen una pelota son 3 y 7, entonces ¡no se va a poder encontrar una estrategia que permita que todos terminen con el mismo número de pelotas!?
Fíjese en lo siguiente: por las características del juego, si uno agrega pelotas a un participante, las agrega a alguno de los dos de al lado (y lo mismo si le quita pelotas, pero ahora no necesito analizar ese caso). Por lo tanto, le propongo que se fije qué sucedería si yo sumara y restara las pelotas que tienen cada uno de los participantes, así:
1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 (*)
¿Cómo interpretar lo que escribí acá?
Estoy tratando de hacer lo siguiente: supongamos que yo le doy cuatro pelotas al número 5. Le tengo que dar entonces cuatro pelotas también o al número 4 o al número 6, ¿de acuerdo? Pero cuando yo haga la suma que figura en (*), no se va a notar. ¿Por qué? Porque si yo le doy cuatro pelotas a 5, el total aumentará en cuatro, pero al mismo tiempo, como tanto las pelotas que tiene 4 como las que tiene 6 aparecen ‘restadas’, voy a tener que ‘restar’ las cuatro pelotas que le di a alguno de ellos dos. ¿Me entiende…? Espero que sí. Si no, relea el texto hasta convencerse de que me pudo seguir.
Con el número que figura en (*), cada vez que yo entrego un número cualquiera de pelotas a cualquier participante y, por las reglas del juego, tengo que agregarle pelotas también a alguno de los dos que tiene al lado, el número que figura en (*) ¡no se va a modificar! Es que estoy sumando y restando el mismo número. En este caso, el número (*) permanece INVARIANTE.
De la misma forma, si yo le pidiera —digamos— diez pelotas al número 3, las tendría que restar de (*), pero al mismo tiempo, como las que figuran tanto en 2 como en 4 aparecen con un signo ‘menos’, les agregaría diez pelotas a alguno de ellos, y por lo tanto el número (*) seguiría ‘inalterado’.
¿Qué estoy tratando de hacer con esto? Estoy tratando de convencerla/lo de que el número (*) permanece INVARIANTE cada vez que usted entrega o retira pelotas siguiendo las reglas.
¿Y para qué sirve esto? ¿Qué piensa usted?
Lo extraordinario es que el hecho de que este número (*) permanezca INVARIANTE cada vez que agregamos o retiramos pelotas sirve para demostrar que el problema original no tiene solución. ¿Por qué?
Si en algún momento pudiéramos encontrar una estrategia que permitiera que todos los participantes tuvieran el mismo número de pelotas, en ese caso el número (*) ¡sería cero! Es que al hacer la operación que figura en (*), como todos tienen el mismo número, se van sumando y restando hasta llegar a cero.
¿Y entonces? ¿Por qué digo que esto prueba que el problema no tiene solución? ¿No tiene ganas de pensar usted?
Es que al empezar el problema, antes de empezar a repartir pelotas, el número (*) es igual a 2… Convénzase usted mismo/a: haga la cuenta y verá que es igual a 2.
Pero lo notable es que, como vimos, el número (*) permanece INVARIANTE al avanzar en el juego. Sea lo que fuere al principio, seguirá siéndolo hasta que decidamos parar.
Por lo tanto, como al principio es igual a dos, cuando lleguemos a cualquier estadio del juego, seguirá siendo siempre dos y nunca será cero. Pero si nunca llegamos a que sea cero, es porque no hemos logrado nunca llegar a que todos tengan el mismo número de pelotas.
¡Y esa es la conclusión! Usando este argumento (que se llama de ‘paridad’) uno puede concluir que, haga lo haga, nunca llegará a lograr que todos los participantes tengan el mismo número de pelotas.
Moraleja 1
Como usted advierte, este argumento se puede convertir en algo mucho más general. ¿Qué quiero decir con esto? Si en lugar de ser los participantes 3 y 7 quienes tienen una pelota cada uno fueran cualesquiera otros dos (ambos pares o impares), el problema no tendría solución tampoco. Y ni siquiera es necesario que tengan una pelota cada uno. Alcanza con que esos dos jugadores tengan el mismo número de pelotas inicialmente.
Moraleja 2
De todos los problemas de este libro, este juego, que parece tan inocente (y de hecho lo es), permite encontrar su solución (o mejor dicho, demostrar que no existe solución) usando un argumento de paridad a través de un número que es invariante (o que no se modifica) a medida que vamos avanzando en el juego54. Eso es lo que provee la matemática también: la capacidad de aportar un argumento tan sólido, impactante y contundente que permita resolver un problema que —a priori— parece de difícil solución. Espero haber sido capaz de transmitir la potencia de una herramienta de estas características, porque se la merece.
Miranda y el partido de tenis (versión 2016)
Hace muchos años, escribí sobre un problema que conocí en uno de los libros de Martin Gardner. Apareció publicado en el tercer libro de la serie Matemática… ¿estás ahí?55. Un tiempo más adelante, el 24 de enero del año 2010, una versión ligeramente modificada salió en la contratapa de Página/12.
Ahora quiero hacer una revisión de ese mismo problema y proponer una solución totalmente diferente.
Todos los problemas que agrupé acá tienen que ver con la paridad. Con toda razón, usted se estará preguntando: “¿de qué paridad me habla?”. Bueno, si usted analiza cada uno de ellos, va a descubrir cómo la paridad de algún factor es determinante para poder encontrar una solución o bien decir que no la tiene. Me explico.
El problema del que hablé tiene que ver con un partido de tenis. No se preocupe: no hace falta saber nada de tenis57, solo que un/a jugador/a gana un set cuando llega a obtener seis puntos. En este caso, estaban jugando Miranda y Rosemary (respeto los nombres que eligió Martin Gardner por respeto a él también).
Estos son los datos:
a) Se sabe que Miranda ganó el set 6-3.
b) Se sabe que, en total, se quebraron el saque cinco veces.
¿Quién sacó primero?
Esa es la pregunta que hay que contestar (y fundamentar). Si pudiera, le propondría que leyera la versión original publicada en múltiples lugares, no solo en los que yo indiqué más arriba, pero en cualquier caso le sugeriría que se detenga un rato a pensar qué pudo (o tuvo) que haber pasado.
Ahora, la solución.
Para empezar, voy a llamar M a Miranda y R a Rosemary.
Al analizar los posibles casos uno sabe que el número de puntos que ganó cada jugadora permanecerá estable: M ganó 6 y R ganó 3.
Si nunca se hubieran quebrado los saques, el set no se habría terminado aún, porque la jugadora que empezó sacando estaría adelante 5-4 y todavía estarían jugando.
Por lo tanto, como el set terminó y M ganó 6-3, ¡tuvo que haber quiebres de saque seguro!
Ahora, le pido que me preste atención, porque esto será clave para lo que siga. Elijamos juntos a una jugadora cualquiera, digamos M. Como el número de puntos que ganó M (seis) permanece constante, cada vez que M pierde un punto con su saque (un quiebre de R), tiene que recuperar ese punto quebrándole el saque a R también. Si no, cambiaría el número de puntos que obtuvo al final. Y lo mismo sucede cada vez que R pierde un punto con su saque (un quiebre de M); R lo tiene que recuperar quebrando el saque de M. ¿Cuál es la moraleja?
“Los quiebres aumentan de a dos. Si una jugadora quebró, la otra tuvo que haber quebrado también. Si no, cambiaría el número de puntos que logró cada una”. (*)
Ahora, algunos datos para tener en cuenta.
Como el resultado final del set fue 6-3, eso significa que en total se jugaron nueve puntos. Tuvo que darse una de estas dos situaciones:
a) R sacó 5 veces y M sacó 4, o al revés.
b) M sacó 5 veces y R sacó 4.
Empecemos por el caso (a).
Sabemos que M obtuvo 6 puntos en total.
¿Qué situaciones pudieron haberse dado?
• Si M no perdió nunca su saque (si ganó los cuatro), entonces necesitó dos puntos más (para llegar a seis), y para obtenerlos tuvo que haber quebrado el saque de R dos veces. Es decir: (quiebres de M) = 2; (quiebres de R) = 0. La suma es igual a dos.
• Si M perdió una vez con su saque (y ganó los otros tres), entonces necesitó tres puntos más (para llegar a seis), y para obtenerlos tuvo que haber quebrado el saque de R tres veces. Es decir: (quiebres de M) = 3; (quiebres de R) = 1. Ahora, la suma es igual a cuatro.
• Si M perdió dos veces con su saque (y ganó los otros dos), entonces necesitó cuatro puntos más (para llegar a seis), y para obtenerlos tuvo que haber quebrado el saque de R cuatro veces. Es decir: (quiebres de M) = 4; (quiebres de R) = 2. Ahora, la suma de quiebres es igual a seis.
Como usted advierte, si suma los quiebres de cada una, como vimos en (*), estos aumentan de a dos. Luego, ¡nunca se va a llegar a cinco, como pedía el problema!
En consecuencia, lo que se deduce es que R no pudo haber empezado sacando. Esto no prueba que sacó M por primera vez en el partido, sino que sirvió para comprobar que seguro que no fue R.
Ahora, analicemos el caso (b).
• Si M no perdió nunca su saque (si ganó los cinco), entonces necesitó un punto más (para llegar a seis), y para obtenerlo tuvo que haber quebrado el saque de R una vez. Es decir: (quiebres de M) = 1; (quiebres de R) = 0. La suma es igual a uno.
• Si M perdió su saque una vez (y ganó los otros cuatro), entonces necesitó dos puntos más (para llegar a seis), y para obtenerlos tuvo que haber quebrado el saque de R dos veces. Es decir: (quiebres de M) = 2; (quiebres de R) = 1. La suma es igual a tres.
• Si M perdió su saque dos veces (y ganó los otros tres), entonces necesitó tres puntos más (para llegar a seis), y para obtenerlos tuvo que haber quebrado el saque de R tres veces. Es decir: (quiebres de M) = 3; (quiebres de R) = 2. La suma es ahora igual a cinco. ESTE ES UN CASO QUE CUMPLE CON TODO LO QUE SE PIDE.
• Avanzo un paso más: si M perdió su saque tres veces (y ganó los otros dos), entonces necesitó cuatro puntos más (para llegar a seis), y para obtenerlos tuvo que haber quebrado el saque de R cuatro veces. Es decir: (quiebres de M) = 4; (quiebres de R) = 3. La suma es ahora igual a siete.
Y paro acá, porque hemos encontrado la solución.
La respuesta es que empezó sacando M.
Y siguió así.
• En total, M sacó cinco veces. Ganó tres veces con su saque y perdió dos (que cuentan como ‘quiebres’ de R).
• Para llegar a los seis puntos, le quebró tres veces el saque a R.
• Por su parte R, que sacó cuatro veces, ganó una vez y perdió tres (que le quebró M). Para llegar a los tres puntos, le quebró el saque a M en dos oportunidades.
• Si usted suma los ‘quiebres’ que se produjeron, esa suma da cinco, como decía el problema.
¡Y listo! La clave acá fue descubrir que los quiebres aumentan en un número par (dos), y por lo tanto, si uno empieza el análisis suponiendo que alguna de las dos no perdió nunca con su saque, quiere decir que la suma de los quiebres empezó siendo dos, y al aumentar en un número par, nunca podía llegar a ser cinco. Y eso fue determinante para descubrir que M fue quien tuvo que haber empezado el partido.
A esta altura, podría escribir una versión mucho más corta del problema, pero no quiero hacerlo porque me parece que están todas las explicaciones necesarias para que pueda transmitir mi entusiasmo: la paridad es una herramienta muy útil cuando uno quiere determinar si un problema tiene o no solución, y en caso de tenerla, determinar cuál es.
